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正项等比数列的两个性质 |
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作者：未知 来源：网摘 加入时间：2004-11-9 师生下载站 |
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设 是以q为公比的正项等比数列，则有以下两个性质:
性质1 （n>2m）.
证明： = .
设m< ，则 =
= = .
∴ . （1）
这就是说正项等比数列的前n项的几何平均数等于这n项的中间n—2m(n>2m)项的几何平均数.
记数列前n项的积为 ，则（1）式可以写成 . （2）
注：对于（2）式，条件m< 可减弱为m 且m .
性质2 对于任意的 ，总有 为常数.
证明： ， ,
可得， ， ， .
令 整理，得 （3）
这就是说，正项等比数列中，对于任意的 ，总有 为常数.
注：对于（3）式，可推广到n<m的情况.
利用这两个性质，可以解决某些与正项等比数列前 项的积有关的问题，方法新颖、简练、独特。下面略举两例说明这两个性质的应用.
例1 等比数列 中， >0，
(1) 若所有项的积为32，前3项的积为4096，后3项的积为 ,求项数n；
(2)若前2项的积为 ，前4项的积为 ，求前8项的积.
解（1） 法1 ，则由本文性质1，得
， ∴ 。∴ n=10.
法2易得， = =16384，由本文性质2得， ，化简，得 = ， ，故 ，从而 n=10.
（2）法1 由本文性质1，得 ，
∴ ，再由性质1，得 。∴ .
法2 由本文性质2，得 ，将 、 代入，得 .
例2 等比数列 中， >0，已知 ， 且 ，求 .
解：令 > ，由本文性质2，得 ,
, 所以 .
若令m<n,同样可得 .
这说明结果与m、 谁大谁小没有关系,所以 .
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